高二数学竞赛试题__高二数学竞赛试题模拟

在教育的广阔天地里，高二数学竞赛试题不仅是对学生知识掌握程度的一次检验，更是点燃智慧火花、激发数学热情的试金石。对于热爱数学、勇于挑战的学子而言，高二数学竞赛试题模拟不仅是备考路上的重要一环，更是通往更高学府和更广阔学术世界的桥梁。本文将深入探讨高二数学竞赛试题的特点、备考策略以及模拟题的重要性，旨在为有志于在数学领域深耕细作的学子提供一份实用的指南。

一、高二数学竞赛试题的特点

高二数学竞赛试题以其深度、广度与灵活性著称。它不仅涵盖了高中数学课程的所有核心内容，如函数、几何、数列、概率统计等，还常常融入高等数学的思想和方法，如微积分初步、线性代数基础等。试题设计巧妙，往往从一个简单的问题出发，层层递进，逐步深入，考察学生的逻辑推理能力、空间想象能力、抽象思维能力和问题解决能力。此外，竞赛试题还特别注重对数学美感的追求，鼓励学生通过简洁优美的解法展现数学的魅力。

二、备考策略：精准定位，科学规划

面对高二数学竞赛，科学的备考策略至关重要。首先，要对自己的数学水平有清晰的认识，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行强化练习。其次，制定详细的学习计划，合理分配时间，确保每个知识点都能得到充分的复习和巩固。同时，要注重解题技巧的积累和总结，学会从多个角度分析问题，寻找最优解。此外，定期参加模拟考试，检验学习效果，及时调整学习策略，保持最佳备考状态。

三、模拟题的重要性：实战演练，查漏补缺

高二数学竞赛试题模拟在备考过程中扮演着举足轻重的角色。高质量的模拟题不仅能够帮助考生熟悉竞赛题型和难度，还能在实战演练中发现自身的不足，从而及时查漏补缺。通过模拟考试，考生可以检验自己的解题和准确率，锻炼心理素质，增强应试能力。更重要的是，模拟题往往蕴含着竞赛命题的趋势和规律，认真分析和总结模拟题，有助于考生更好地把握竞赛方向，制定更加精准的备考策略。

四、如何高效利用模拟题

在利用模拟题进行备考时，考生应遵循以下原则：一是精选模拟题，确保题目的质量和针对性。二是独立完成，模拟真实考试环境，锻炼解题能力和时间管理能力。三是细致分析，不仅关注答案的正确性，更要关注解题思路和方法的优化。四是总结反思，每次模拟考试后都要认真分析错题原因，总结经验教训，为下一次考试做好准备。

五、结语：扬帆起航，逐梦数学之巅

高二数学竞赛试题模拟，既是挑战，也是机遇。它既是检验学生数学素养的试金石，也是通往更高学术殿堂的必经之路。在这场智慧与勇气的较量中，每一位学子都应怀揣梦想，勇于探索，不断超越自我。通过科学的备考、高效的模拟练习，我们不仅能够提升数学能力，更能在这个过程中磨砺意志、丰富人生。让我们携手并进，在数学的世界里扬帆起航，共同追寻那璀璨夺目的数学之巅。

高中希望杯数学竞赛的试题 要答案一起的哈，嗯越多越好！

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．函数 在 上的最小值是 （ C ）

A．0 B．1 C．2 D．3

[解] 当 时， ，因此

，当且仅当 时上式取等号．而此方程有解 ，因此 在 上的最小值为2．

2．设 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 （ D ）

A． B． C． D．

[解] 因 有两个实根

， ，

故 等价于 且 ，即

且 ，

解之得 ．

3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为 （ B ）

A. B. C. D.

[解法一] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为

．

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有

，

，

，

故 ．

[解法二] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.

令 表示甲在第 局比赛中获胜，则 表示乙在第 局比赛中获胜．

由独立性与互不相容性得

，

，

，

故 ．

4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）

A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3

C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3

[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ，则有 ， ，不妨设 ，从而 ， ．故 ． 只能取9，8，7，6．

若 ，则 ，易知 ， ，得一组解 ．

若 ，则 ， ．但 ， ，从而 或5．若 ，则 无解，若 ，则 无解．此时无解．

若 ，则 ，有唯一解 ， ．

若 ，则 ，此时 ， ．故 ，但 ，故 ，此时 无解．

综上，共有两组解 或

体积为 cm3或 cm3．

5．方程组 的有理数解 的个数为 （ B ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

[解] 若 ，则 解得 或

若 ，则由 得 ． ①

由 得 ． ②

将②代入 得 ． ③

由①得 ，代入③化简得 .

易知 无有理数根，故 ，由①得 ，由②得 ，与 矛盾，故该方程组共有两组有理数解 或

6．设 的内角 所对的边 成等比数列，则 的取值范围是

（ C ）

A. B.

C. D.

[解] 设 的公比为 ，则 ，而

．

因此，只需求 的取值范围．

因 成等比数列，最大边只能是 或 ，因此 要构成三角形的三边，必需且只需 且 ．即有不等式组

即

解得

从而 ，因此所求的取值范围是 ．

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．设 ，其中 为实数， ， ， ，若 ，则 5 .

[解] 由题意知

，

由 得 ， ，因此 ， ， ．

8．设 的最小值为 ，则 ．

[解]

，

(1) 时， 当 时取最小值 ；

(2) 时， 当 时取最小值1；

(3) 时， 当 时取最小值 ．

又 或 时， 的最小值不能为 ，

故 ，解得 ， (舍去)．

9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．

[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用 表示名额．如

表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．

若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于 个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．

“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有 种．

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．

综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．

[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为 ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程

．

的正整数解的个数，即方程 的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：

．

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．

综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．

10．设数列 的前 项和 满足： ， ，则通项 = ．

[解] ，

即 2

= ，

由此得 2 ．

令 ， ( )，

有 ，故 ，所以 ．

11．设 是定义在 上的函数，若 ，且对任意 ，满足

， ，则 = ．

[解法一] 由题设条件知

，

因此有 ，故

．

[解法二] 令 ，则

，

，

即 ，

故 ，

得 是周期为2的周期函数，

所以 ．

12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．

[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 ，作平面 //平面 ，与小球相切于点 ，则小球球心 为正四面体 的中心， ，垂足 为 的中心．

因

，

故 ，从而 ．

记此时小球与面 的切点为 ，连接 ，则

．

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况，易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为 ，如答12图2．记正四面体

的棱长为 ，过 作 于 ．

因 ，有 ，故小三角形的边长 ．

小球与面 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）

．

又 ， ，所以

．

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 ．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13．已知函数 的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 ，求证：

．

[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在 内相切，其切点为 ， ．

…5分

由于 ， ，所以 ，即 ． …10分

因此

…15分

． …20分

14．解不等式

．

[解法一] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于

．

即 ． …5分

分组分解

，

， …10分

所以 ，

． …15分

所以 ，即 或 ．

故原不等式解集为 ． …20分

[解法二] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于

． …5分

即

，

， …10分

令 ，则不等式为

，

显然 在 上为增函数，由此上面不等式等价于

， …15分

即 ，解得 ( 舍去)，

故原不等式解集为 ． …20分

15．如题15图， 是抛物线 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 面积的最小值．

[解] 设 ，不妨设 ．

直线 的方程: ，

化简得 ．

又圆心 到 的距离为1，

， …5分

故 ，

易知 ，上式化简得 ，

同理有 ． …10分

所以 ， ，则

．

因 是抛物线上的点，有 ，则

， ． …15分

所以

．

当 时，上式取等号，此时 ．

因此 的最小值为8．

求数学竞赛高中的试题什么的

2007年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案 (考试时间：120分钟满分150分)一、(本题满分50分)如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点.过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F.O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心.求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心.二、(本题满分50分)如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.三、(本题满分50分)设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=，其中[a]表示不大于a的最大整数.求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n.2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、(本题满分50分)如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点.过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F.O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心.求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心.证明：连结BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1.因为PD⊥BC，PF⊥AB，故B、D、P、F四点共圆，且BP为该圆的直径.又因为O1是△BDF的外心，故O1在BP上且是BP的中点.同理可证C、D、P、E四点共圆，且O2是CP的中点.综合知O1O2∥BC，所以∠PO2O1=∠PCB.因为AF·AB=AP·AD=AE·AC，所以B、C、E、F四点共圆.充分性：设P是△ABC的垂心，由于PE⊥AC，PF⊥AB，所以B、O1、P、E四点共线，C、O2、P、F四点共线，∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1，故O1、O2、E、F四点共圆.必要性：设O1、O2、E、F四点共圆，故∠O1O2E+∠EFO1=180°.由于∠PO2O1=∠PCB=∠ACB-∠ACP，又因为O2是直角△CEP的斜边中点，也就是△CEP的外心，所以∠PO2E=2∠ACP.因为O1是直角△BFP的斜边中点，也就是△BFP的外心，从而∠PFO1=90°-∠BFO1=90°-∠ABP.因为B、C、E、F四点共圆，所以∠AFE=∠ACB，∠PFE=90°-∠ACB.于是，由∠O1O2E+∠EFO1=180°得(∠ACB-∠ACP)+2∠ACP+(90°-∠ABP)+(90°-∠ACB)=180°，即∠ABP=∠ACP.又因为AB<AC，AD⊥BC，故BD<CD.设B′是点B关于直线AD的对称点，则B′在线段DC上且B′D=BD.连结AB′、PB′.由对称性，有∠AB′P=∠ABP，从而∠AB′P=∠ACP，所以A、P、B′、C四点共圆.由此可知∠PB′B=∠CAP=90°-∠ACB.因为∠PBC=∠PB′B，故∠PBC+∠ACB=(90°-∠ACB)+∠ACB=90°，故直线BP和AC垂直.由题设P在边BC的高上，所以P是△ABC的垂心.二、(本题满分50分)如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求.其原因如下：如果一个方格在第i行第j列，则记这个方格为(i，j).第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.用反证法.假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格.同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，

高中希望杯数学试题

2010希望杯数学竞赛试题

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛

第2试

2010年4月11日 上午9:00至11:00 得分

一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．

1．若a-b的相反数是2b-a，则b=( )

(A)-1. (B)0. (C)1. (D)2.

2．某工厂3月份的产值比2月份增加10%，4月份的产值比3月份减少10%，则( )

(A)4月份的产值与2月份相等． (B)4月份的产值比2月份增加 ．

(C)4月份的产值比2月份减少 ． (D)4月份的产值比2月份减少 ．

3．如图1，△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角分别记为α，β，γ，．若α：β:γ，=3:4:5，

则∠A：∠B：∠C=( )

(A)3:2:1. (B)1:2:3. (C)3:4:5. (D)5:4:3.

4．若m= ，则m是( )

(A)奇数，且是完全平方数． (B)偶数，且是完全平方数．

(C)奇数，但不是完全平方数． (D)偶数，但不是完全平方数．

5．有两个两位数的质数，它们的差等于6，且它们平方的个位数字相同，

这样的两位质数的组数是( )

(A)1． (B)2． (C)3． (D)4．

6.As in figure 2,the area of square ABCD is l69cm2,and the area of

thombus BCPQ is 156cm2. Then the area of the shadow part is ( )

(A) 23cm2. (B) 33cm2. (C) 43cm2. (D) 53cm2.

（英汉词典：square正方形；thombus菱形）

7．要将40kg浓度为16%的盐水变为浓度为20%的盐水，则需蒸发掉水( )

(A) 8kg. (B) 7kg. (C) 6kg. (D) 5kg.

8．如图3，等腰直角△ABC的腰长为2cm.将△ABC绕C点逆时针旋转90。

则线段AB扫过的面积是( )

9．若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”．则不是“巧数”的两位数的个数是( )

(A)82. (B)84. (C)86. (D)88.

10.如果在一个正方体的每个面内写一个正整数，然后，在每个顶点处再写一个数，该数等于过这个顶点的三个面内的数的乘积，那么当该正方体各个顶点处的数之和是290时，各个面内的数之和等于( )

(A)34. (B)35. (C)36. (D)37.

二、填空题（每小题4分，共40分．）

11.甲、乙两车从A向B行驶，甲比乙晚出发6小时，甲、乙的比是4：3.甲出发6小时后，提

高1倍，甲、乙两车同时到达B．则甲从A到B共走了 小时．

12.若有理数x,y，岁满足方程 ，则

13.图4是一个六角星，其中

14.加工某种工件，须顺次进行三道工序，工作量的比依次是2：1：4．甲完成1个工件与第二个工件的前两道工序，所用时间为t．已知甲和乙的加工效率比是6:7，则乙完成一个工件，需要的时间是t的_倍．

15. -个直四棱柱的三视图及有关数据如图5所示，它的俯视图是菱形，

则这个直四棱柱的侧面积为

16.有这样一种衡量体重是否正常的算法：一个男生的标准体重（单位：

千克）等于其身高（单位：厘米）减去110.当实称体重在标准体重的

90%和110%之间（舍边界）时，就认为该男生的体重为正常体重，已知

男生甲的身高是161厘米，实称体重是55千克．根据上述算法判定，

甲的体重 正常体重（填“是”或“不是”）．

17. If a2 -a+l and az +a -3 are opposite numbers to each other,

and themverse number of a is less than the opposite number of a,

then =

（英汉词典：inverse number倒数；opposite相反的）

18.从长度为1的线段开始，第一次操作将其三等分，并去掉中间的一

段；第二次操作将余下的线段各三等分，并去掉所分线段中间的一段．

此后每次操作都按这个规则进行．图6是最初几次操作的示意图，当

完成第六次操作时，余下的所有线段的长度之和为

19.已知m，n都是正整数，且 是整数．若 的最大值是a，最小值是6，则a+b=

20.从最小的质数算起，若连续n（n是大于1的自然数）个质数的和是完全平方数，则当n最小时，

三、解答题 每题都要写出推算过程．

21．（本题满分10分）

设a= ，证明：a是37的倍数．

22．（本题满分15分）

(1)已知平面内有4条直线a，b，c和d．直线a，b和c相交于一点．直线b，c和d也相交于一点，试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由．

(2)作第5条直线e与(1)中的直线d平行，说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？

23.（本题满分15分）

轨道AB长16.8米，从起点站A到终点站B，每2.4米设一站点．甲、乙两个机器人同时从A站点出发，到达B站点后，再返回，在A和B两站点之间反复运动．甲、乙运动的都是0.8米／秒，甲每到达一个站点就休息1秒钟，而乙从不休息，若甲、乙从A站点出发后2分钟结束运动，问：它们出发后，曾几次同时到达同一站点（包括起点站和终点站）

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